Родился 15 марта 1944 года в Москве.

Во время учебы в школе (и позже в Университете) занимался иностранными языками с частными преподавателями. Закончил биологический факультет МГУ по специальности «биохимия», выполнил дипломную работу (1966), а затем защитил кандидатскую диссертацию (1971) в Институте молекулярной биологии под руководством В.А. Энгельгардта и Л.Л. Киселева.

С детства начал писать и переводить стихи. Первые переводы Парина были опубликованы в 1973 году. В 1974 году его пригласили на работу в издательство «Художественная литература» как научного редактора для издания томов «Библиотеки всемирной литературы». В 1978 году Парина приняли в Союз писателей СССР, в секцию переводчиков, и он, уйдя из издательства, стал «вольнонаемным» литератором. В его переводах публиковались поэтические произведения европейских поэтов от античности до наших дней, от Сафо и Овидия до Пауля Целана и Жака Рубо. Отдельными книгами напечатаны его перевод «Антигоны» Софокла и сборник «Французская средневековая лирика», а лирика разных эпох собрана в антологии «Влюбленный путник».

С 1983 года Парин стал публиковать статьи по музыкальному театру в русской («Литературная газета», газеты «Сегодня», «Независимая», «Общая», «Новая», журналы «Театр», «Музыкальная жизнь») и зарубежной прессе (газеты «Франкфуртер Альгемайне Цайтунг», «Штутгартер Цайтунг», журнал «Опернвельт»). К настоящему моменту он автор более чем 700 эссе и статей по проблемам современного музыкального театра и художественного перевода, теоретической книги «Хождение в невидимый град. Парадигмы русской оперной классики» (1999), триптиха «О пении, об опере, о славе» (2003), «Фантом русской оперы» (2006) и «Европейский оперный дневник» (2007), монографий «Елена Образцова. Голос и судьба» (2009) и «Джансуг Кахидзе, человек и музыкант» (2013). Как театровед принимал участие в ряде международных конференций, вел семинары и читал лекции в разных университетах Европы (Вена, Цюрих, Инсбрук, Лейпциг, Страсбург), преподавал в РГГУ и ГИТИСе, руководил Международным семинаром по музыкальному театру в разных городах России (1988 – 2002). В течение более 20 лет Парин ведет музыкальные передачи на радиостанции «Эхо Москвы», он также автор передач на радио «Орфей».

Из обширной организаторской деятельности Парина следует отметить художественное руководство масштабным фестивалем «Сакро Арт» в немецком городе Локкуме (1995 – 2004), постановкой оперы «Так поступают все женщины» на Людвигсбургском фестивале (1999), многими проектами в театре «Геликон-опера». В 2000 году Парин поставил как режиссер оперу Моцарта «Похищение из сераля» в Москве при участии немецких актеров. Как драматург (с режиссером Дмитрием Черняковым) Парин принимал участие в постановке опер «Аида» (Новосибирская Опера), «Тристан и Изольда» (Мариинский театр), «Борис Годунов» (Берлинская Штаатсопер), «Хованщина» (Баварская национальная опера), «Леди Макбет Мценского уезда» (Немецкая Опера на Рейне), «Дон Жуан» (Оперный фестиваль в Экс-ан-Провансе).

Постановка триптиха «Голоса незримого» с либретто и под художественным руководством Алексея Парина в театре «Геликон-опера» (режиссер Дмитрий Бертман) была удостоена премии «Золотая Маска» в разделе «новация» (1999), а спектакль «Игра о душе и теле» Эмилио де Кавальери в Детском музыкальном театре имени Сац (режиссер Георгий Исаакян; идея проекта и русский перевод Алексея Парина) также удостоился той же премии. Парин возглавлял жюри фестиваля «Золотая Маска» по музыкальному театру (2000) и издавал как главный редактор «Большой журнал Большого театра» (2000 – 2004), состоял членом правления Европейской Академии музыкального театра (1995-2001). В настоящее время Парин – член жюри Международной Дягилевской премии.

Парин – автор более десятка оперных либретто, он сотрудничает с такими композиторами, как Владимир Кобекин, Василий Лобанов, Александр Щетинский, Иосиф Барданашвили, Александр Раскатов, Сергей Неллер, Филипп Фенелон. Оперы на либретто Парина ставились в Москве, Перми, Харькове, Локкуме, Людвигсбурге, Фрайбурге, Париже.

Парин – автор нескольких книг лирики, которая также печаталась в разных российских журналах и переводилась на немецкий и французский языки. Книга «Талисман» (2013) собрала лирику, пьесы и эссе Парина.

В последние годы Парин руководит московским издательством «Аграф» как главный редактор.